“La pelota no se mancha” (porque es útil para la teoría económica)

“Pensé que no había nada que valiera la pena publicar hasta que se probó el Teorema Minimax. Por lo que puedo ver, no podría haber teoría de juegos sin esa teoría”. John von Neumann, 1953

¿Cuál es la mejor forma de repartir un alfajor entre dos hermanos y evitar un conflicto? Podría hacerlo yo, cortándolo a la mitad y repartiendo dos pedazos casi idénticos. El problema es que los niños suelen tener un ojo clínico para este tipo de cosas, y el “casi idénticos” podría fallar ante una percepción infantil distorsionada por el azúcar. Lo mejor, dicen, sería trasladarles la responsabilidad del corte y el reparto: uno lo corta y el otro elige qué pedazo agarrar.

El primero se quedará tranquilo, porque es el responsable de hacer la división en primera instancia. Pero sabe que debe ser ecuánime, porque si no terminará quedándose con el pedazo más pequeño luego de que el segundo niño intervenga; tendrá que asumir el costo de su edulcorada avaricia. El segundo, por su parte, será el responsable último del reparto, y podrá capitalizar los fallos de su hermano en su favor.

En otras palabras, el niño a cargo del corte intentará hacer más grande (máximo) el pedazo más pequeño (mínimo), porque es el que le tocará comerse. Si repartir la torta fuera un juego, esta estrategia se llamaría maximin, porque trata de maximizar el mínimo pedazo del alfajor (busca, considerando el peor escenario, la mejor alternativa posible).

En sentido contrario, el segundo niño tratará de dejarle “la mitad” más chica a su hermano (mínimo) eligiendo la más grande (máximo). En este caso, jugaría una estrategia minimax para achicar su pérdida. De esta manera, cada uno juega su estrategia y el juego de repartir la torta termina conduciendo a una solución óptima exenta de disputas familiares. ¿Y yo? Argentino, como el Diego. Puede ser un ejemplo tonto, pero describe amigablemente el famoso Teorema del Minimax, desarrollado por John von Neumann en 1928, generalizado por la “mente brillante” de John Nash en 1950 y probado con datos reales (¡de penales!) por Ignacio Palacios-Huerta en 2003.

John von Neumann y el Teorema Minimax

John von Neumann fue un matemático y físico brillante nacido en Budapest en 1903, que dejó una “profunda huella con aportes fundamentales en física teórica, física aplicada, teoría de la decisión, meteorología, biología, economía y disuasión nuclear”. Además, “se convirtió, más que cualquier otro individuo, en el creador de la computadora digital moderna”.²

Fue a partir de su libro, Theory of Games and Economic Behavior, escrito junto a Oskar Morgenstern en 1944, que nació la teoría de juegos como disciplina para “ayudar a los economistas a comprender y predecir lo que sucederá en contextos económicos, sociales y políticos” (Kreps, 1991). De forma más precisa, la teoría de juegos modeliza matemáticamente el comportamiento estratégico que está implícito en cualquier interacción entre personas o agentes (empresas, bancos, países, etcétera).

Los juegos son, desde esa perspectiva, representaciones de interacciones estratégicas, es decir, situaciones en las que las consecuencias de las acciones de unos dependen de las acciones de otros, y también de lo que crean que creen los otros, siendo esta interdependencia reconocida por los involucrados. Volviendo al ejemplo inicial, y dado que lo que hace un hermano afecta al otro, el reparto del alfajor es un juego estratégico. En particular, es un juego de suma cero (lo que gana uno lo pierde el otro) que tiene dos agentes (los hermanos). Digo en particular porque no todos los juegos involucran conflicto ni se restringen solamente a dos partes. Pese a que los juegos de suma cero representan la “piedra angular de la teoría” y fueron los primeros en ser estudiados (Aumann, 1987), existen juegos de todo tipo y color que involucran distintas combinaciones de conflicto e interés común. En efecto, gran parte de nuestra vida social se estructura en torno a estas interacciones y comportamientos estratégicos.

Por este motivo, si bien fue concebida como una herramienta bélica, hoy la teoría de juegos tiene un sinfín de aplicaciones y atraviesa múltiples áreas del conocimiento. Por decir algo, es tan útil para la economía como para la ciencia política, la sociología, la biología, la filosofía, la ética y hasta para la inteligencia artificial. Y no sólo eso: es tan útil para jugar al póker o dividir un alfajor entre hermanos como para analizar procesos electorales, modelar la tensión entre China y Estados Unidos o abordar el proceso de negociación entre Argentina y el Fondo Monetario Internacional. También nos permite, como demostraron Tatiana Rosá y Cecilia Parada, analizar la política de la libertad responsable promovida en Uruguay ante la irrupción de la pandemia.³

Según Von Neumann, “siempre existe una forma racional de actuar en juegos de dos participantes, si los intereses que los gobiernan son completamente opuestos”, y esta es la idea que está plasmada en su teorema. Básicamente, existe una estrategia que permite a ambos jugadores minimizar la pérdida máxima esperada: un hermano corta el alfajor jugando la estrategia maximin y el otro decide el reparto jugando minimax. Lo que posteriormente demuestra Nash es que toda interacción estratégica tiene al menos un equilibrio al cual converge. O, lo que es lo mismo, los comportamientos racionales de los jugadores conducen a una situación en la que ninguno tiene incentivos para hacer algo distinto; al primer hermano siempre le conviene cortar el alfajor en partes “iguales”, porque al segundo siempre le conviene elegir la parte más “grande”.

Pero hasta acá con los alfajores, cuya presencia física nos sigue atrayendo desde las góndolas pese a la celosa mirada de los octógonos negros. Ahora pasemos a las ausencias físicas, que son las que nos convocan a un año de la muerte de Diego Armando Maradona.

Maradona juega minimax¹

Este es el nombre del paper que publicó en mayo Ignacio Palacios-Huertas, profesor de la Escuela Económica de Londres especializado en teoría de juegos y autor del libro Beautiful Game Theory: How Soccer Can Help Economics. Esta investigación representa, según él, la prueba definitiva del Teorema Minimax y el equilibrio de Nash, los dos pilares sobre los que se erige la teoría de juegos.

La ley de la gravedad: ¿qué dice la teoría?

La verificación empírica de los modelos estratégicos de comportamiento es compleja y problemática. Sin embargo, los datos que surgen del deporte han permitido avanzar mucho en los últimos años.⁴ De hecho, el análisis de los penales fue lo que le permitió a Palacios-Huerta comprobar empíricamente la validez del Teorema Minimax 53 años después de que fuera generalizado por Nash. Fue la primera vez que se probó la teoría de Nash con datos reales; “como verificar la teoría de la gravedad con manzanas”, según el autor.

Los penales, al igual que la división de los alfajores entre hermanos, representan una interacción estratégica (un juego) entre dos personas (golero y pateador) de suma cero (lo que gana el golero lo pierde el jugador y viceversa). De hecho, como destaca Palacios-Huerta, los penales ofrecen una situación ideal para evaluar las teorías de Nash, en tanto involucran un conjunto limitado de acciones (izquierda, centro o derecha; arriba, al medio o abajo). Por lo tanto, su formulación matemática arroja predicciones sobre lo que hará cada jugador en el equilibrio. En su expresión más simple, podemos pensar en dos estrategias para cada uno: el golero puede tirarse a la izquierda o a la derecha, y el jugador puede patear a la izquierda o a la derecha.⁵ Una formulación de este tipo arroja una matriz de 2x2 (ver cuadro) que, al resolverse matemáticamente, predice que en el equilibrio:

1. La tasa de “éxito” (meter el gol para el jugador y atajar para el golero) debe ser la misma para todas las estrategias posibles (en este caso, izquierda o derecha). Según el análisis, el 60% de las veces los jugadores patean a su lugar natural (un derecho a la derecha del golero) y el 80% terminan en gol (esto es lo que sucede en el equilibrio).
2. Los jugadores se enfrentan a cada penal sin una estrategia adivinable, aleatorizando sus estrategias en cada penal como si tiraran una moneda; no se puede aprender nada de sus estrategias pasadas.

Paradójicamente, como advierte Walter Sosa Escudero, “una predicción sólida de esta disciplina es que varias situaciones que ocurren en el marco de una interacción estratégica son predeciblemente... impredecibles”.⁶

Las manzanas: ¿qué sucede en la práctica?

“Gran parte de la interacción estratégica del mundo real no se puede comprender completamente con las herramientas actuales. Para seguir avanzando, el campo debe adquirir más experiencia en aplicaciones al mundo real”. Game Theory Society (2006)

La carrera profesional de Maradona se extendió 21 años, desde su debut en Argentinos Juniors contra Talleres de Córdoba en 1976 hasta que se enfrentó a River Plate jugando para Boca Juniors en 1997. En competencias oficiales pateó 109 penales: 25 con Argentinos Juniors (1976-1980), 20 con Boca Juniors (1981 y 1995-1997), nueve con Barcelona (1982-1984), 48 con Napoli (1984-1991), tres con Sevilla (1992-1993) y cuatro con la selección. Solo pateó cuatro veces al medio del arco y metió 90 de los 109 penales (una tasa de éxito de 82,6%).

Palacios-Huerta contrastó estos datos con la teoría y encontró que Maradona, sin conocer absolutamente nada sobre la teoría de juegos, Nash o Von Neumman, respetó estrictamente sus postulados de la misma manera que las manzanas caen de los árboles sin conocer la ley de la gravedad. “Maradona imitaba a la teoría y la teoría a él, como la naturaleza al arte” diría Oscar Wilde⁷; D10S.

1. Tuvo la misma tasa de éxito con ambas estrategias: cuando tiró a la izquierda acertó el 84,6% y cuando pateó a la derecha metió el 85,7%.
2. Fue indetectable: era imposible predecir hacia dónde iba a patear utilizando la información de lo que había hecho antes.

Según concluye el estudio: “Como prueba definitiva de la teoría de Nash, la evidencia empírica muestra que el comportamiento de Maradona es consistente con las predicciones de Nash, específicamente con las dos implicancias del Teorema Minimax de Von Neumann”.

¿Qué lecciones podemos extraer de lo anterior?

La primera y más obvia, que Maradona fue un genio irrepetible. La segunda y más interesante, que “la consecuencia más dramática de estos resultados es que la teoría es la misma que dice que es imposible predecir exactamente el resultado de ciertos juegos estratégicos, porque los involucrados aleatorizan sus estrategias y, peor aún, porque los datos de la historia de estos sucesos resultan inútiles para la predicción”, dice Sosa Escudero.

En efecto, la naturaleza estratégica de nuestras interacciones desborda de impredecibilidad, y esto debería moderar, aunque sea en el margen, las expectativas sobre las cosas que podemos encontrar buceando en el mar de datos de la economía digital. O como dice el argentino, que de esto sabe y mucho (es autor de dos recomendables libros, Big Data y Borges, big data y yo), esto pone un freno al “sobreentusiasmo que muchos tienen en relación con el fenómeno del big data... es la naturaleza estratégica que subyace a muchos fenómenos de la política y de la economía lo que explica su impredecibilidad, no la falta de datos ni de algoritmos más eficientes”.

Como nuestra vida en sociedad discurre por un continuo de interacciones de este tipo, no deben sorprender –ni negarse– las limitantes que son inherentes a nuestra capacidad de predecir un montón de eventos y fenómenos. Será por eso que el propio Von Neumann dejó por escrito que “no existe una teoría económica universal… y probablemente no la haya durante nuestras vidas. La razón es, simplemente, que la economía es una ciencia demasiado difícil”. O –para ser ecuánimes con los escépticos y evitar incurrir en un ejercicio de autocomplacencia profesional– será por eso que la economía es una pseudociencia creada para “hacer quedar bien a los meteorólogos”.